数列极限练习：有界量、夹逼与反例

最近数学分析的进度从极限定义转到了数列极限的性质和具体计算。前一阶段还在反复写 ε-N 证明，这几天则更多是在判断：面对一个极限，应该用夹逼、放缩、有理化，还是先找反例。

夹逼原理不只是一个固定套路

这次先复习了夹逼原理：如果一个数列被两个都趋于同一极限的数列夹住，那么中间的数列也趋于这个极限。

练习里出现了 sin n、cos√n 这类本身不收敛、但始终有界的因子。例如

n^(2/3) sin n / (n+1)。

可以利用 |sin n|≤1 做夹逼，也可以先看出 n^(2/3)/(n+1)→0，再使用“无穷小量乘有界量仍是无穷小量”。我还专门追问了是不是非得用夹逼原理。现在的理解是：后一种写法更短，但不能直接套两个数列的乘积极限定理，因为 sin n 自己没有极限；真正起作用的是它的有界性。

遇到 √(n+1)-√(n+2) 时，先有理化，把两个很大的根式之差变成

-1/(√(n+1)+√(n+2))，

趋于零就明显多了。对于 ⁿ√(n²+n)，则先用 n²≤n²+n≤2n² 夹住，再开 n 次方，最后得到极限为 1。

我还练习了固定 k 次方根的极限。若 aₙ→a>0，利用幂的差公式，可以把 |ᵏ√aₙ-ᵏ√a| 一类的根式差转化为分子 |aₙ-a| 除以一个具有正下界的分母。这里更准确地说，固定的是 k，结论是 ᵏ√aₙ→ᵏ√a。

这部分最有用的是反例。两个发散数列的和不一定发散，例如 n+(-n)=0；积也不一定发散，例如 (-1)ⁿ·(-1)ⁿ=1。

如果 xₙ 收敛而 yₙ 发散，那么 xₙ+yₙ 一定发散，否则相减会推出 yₙ 收敛。但乘积仍不一定发散：(1/n)·n=1。只有当 xₙ→a≠0 时，若乘积收敛，才能通过除以 xₙ 反推出 yₙ 收敛并得到矛盾。

这些题让我意识到，极限运算法则的条件不能只靠一句“一个收敛、一个发散”来判断，零极限、非零极限和有界性都会改变结论。

目前我能跟着条件选择方法，但还不算熟练。下一步需要继续练习两件事：计算前先判断目标需要上界还是等价变形；看到“必然成立吗”时，先尝试构造最简单的反例，而不是急着证明。