戴德金分界数唯一性与 Python 取模

昨天在学校的《数学分析》里看到 Dedekind（戴德金）连续性公理，又在“分界数为什么唯一”这一步卡了将近四十分钟。符号一个接一个，证明像是在集合之间绕圈。看了很久，我还是不能说自己已经看懂，只能先把目前能够理清的骨架记下来。

先把“存在”和“唯一”分开

在我现在的理解里，一个 Dedekind 分割把实数集分成非空的两部分 A 和 B：两者没有重叠，合起来是整个实数集，而且 A 中的每个数都不大于 B 中的每个数。

如果有一个实数 c，使任意 a ∈ A、b ∈ B 都满足 a ≤ c ≤ b，那么 c 就是这道分割的分界数。连续性解决的是“这样的 c 是否存在”，而唯一性要回答的是“会不会同时出现两个不同的 c”。我之前把这两个问题揉在一起看，证明自然越看越乱。

用中点看唯一性

唯一性可以先用一个更直观的反证骨架来理解。

1. 假设同一个分割有两个不同的分界数，并设 c₁ < c₂。
2. 取它们的中点 m = (c₁ + c₂) / 2，于是 c₁ < m < c₂。
3. 因为 A 与 B 合起来是整个实数集，所以 m 只能属于 A 或 B。
4. 若 m ∈ A，由 c₁ 是分界数，应有 m ≤ c₁，与 m > c₁ 矛盾。
5. 若 m ∈ B，由 c₂ 是分界数，应有 c₂ ≤ m，又与 m < c₂ 矛盾。

两种可能都会矛盾，因此不能存在两个不同的分界数。现在回头看，关键并不是记住一长串符号，而是认出“假设有两个—在中间取一个数—穷尽它属于哪一边—两边都矛盾”这条链。教材里的证明还需要继续逐行核对，但至少我知道自己应该盯住哪些位置了。

Python 里的 %、!= 和 ==

数学分析看累以后，我又复习了一会儿 Python。判断一个整数能否被另一个整数整除，可以看余数是不是零：dividend % divisor == 0。

• % 是取模运算，在这里用来求余数。
• == 是比较两边是否相等。
• != 是比较两边是否不相等。
• = 是赋值，不能和 == 混用。

除数还必须先排除零，否则 % 运算会报错。可以先写成下面这样：

dividend = int(input('请输入被除数：'))
divisor = int(input('请输入除数：'))

if divisor != 0:
    if dividend % divisor == 0:
        print('可以整除')
    else:
        print('不能整除')
else:
    print('除数不能为 0')

下一次再看这段证明，我准备把每一行分别标成“假设、取中点、分类、矛盾”，然后不看答案重新讲一遍。Python 这边则多换几组被除数和除数运行，确认 %、== 与 != 没有记混。

等一会儿再去图书馆。今天先记到这里。